Tips:群とか環とか体とか

とあるご縁で掛け算とか足し算のあたりの話を読む機会があり「そういえば定義なんだっけ...?」となり見返したものを整理した記事です。
しかし出来上がったのは、掛け算や足し算を定義する一歩手前の記事になってしまいました。なぜでしょう。

競プロでも、モノイドや剰余環は頻出なので、競プロ Tips ということに。遅延セグ木に登場する作用素のあたりをカバーしきれていないのはご愛敬。
=> 遅延セグ木に関しての記事はこちら(コードのみ)

演算の数 ひとつ目の二項演算 ふたつ目の二項演算 分配法則
結合則 単位元の存在 逆元の存在 交換法則 結合則 単位元の存在 零元以外に対する逆元の存在 交換法則
マグマ 1個
半群 1個
モノイド 1個
可換モノイド 1個
1個
アーベル群(可換群) 1個
半環 2個
2個
可換環 2個
斜体 2個
可換体(体) 2個

こうして整理してみますと、半群と群の関係と、半環と環の関係って微妙に対応していなさそうですね。可換XXX系は、ある程度法則が成り立っているように見えます。

表中に表現できていないこととして、

  • すべての二項演算は、代数的構造に紐づけられた集合の中に閉じています。
  • 分配法則は以下を指します。
    • ひとつ目の演算を  f, ふたつ目の演算を  g としたとき、 g(a, f(b, c)) = f(g(a, b), g(a, c)) および  g(f(b, c), a) = f(g(b, a), g(c, a)) が成り立つこと。

あとは、分配法則が成り立つことから、ふたつ目の演算に関する零元が存在することと、それがひとつ目の演算に関する単位元と等しいことが示せます。