Tips：群とか環とか体とか

とあるご縁で掛け算とか足し算のあたりの話を読む機会があり「そういえば定義なんだっけ...？」となり見返したものを整理した記事です。
しかし出来上がったのは、掛け算や足し算を定義する一歩手前の記事になってしまいました。なぜでしょう。

競プロでも、モノイドや剰余環は頻出なので、競プロ Tips ということに。遅延セグ木に登場する作用素のあたりをカバーしきれていないのはご愛敬。
=> 遅延セグ木に関しての記事はこちら（コードのみ）

	演算の数	ひとつ目の二項演算				ふたつ目の二項演算				分配法則
		結合則	単位元の存在	逆元の存在	交換法則	結合則	単位元の存在	零元以外に対する逆元の存在	交換法則
マグマ	1個	ー	ー	ー	ー
半群	1個	〇	ー	ー	ー
モノイド	1個	〇	〇	ー	ー
可換モノイド	1個	〇	〇	ー	〇
群	1個	〇	〇	〇	ー
アーベル群（可換群）	1個	〇	〇	〇	〇
半環	２個	〇	〇	ー	〇	〇	〇	ー	ー	〇
環	２個	〇	〇	〇	〇	〇	〇	ー	ー	〇
可換環	２個	〇	〇	〇	〇	〇	〇	ー	〇	〇
斜体	２個	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	ー	〇
可換体（体）	２個	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇	〇

こうして整理してみますと、半群と群の関係と、半環と環の関係って微妙に対応していなさそうですね。可換XXX系は、ある程度法則が成り立っているように見えます。

表中に表現できていないこととして、

• すべての二項演算は、代数的構造に紐づけられた集合の中に閉じています。
• 分配法則は以下を指します。
  • ひとつ目の演算を , ふたつ目の演算を としたとき、 および が成り立つこと。

あとは、分配法則が成り立つことから、ふたつ目の演算に関する零元が存在することと、それがひとつ目の演算に関する単位元と等しいことが示せます。