ゲーム理論:無限回繰り返し戦略型ゲームにおいて部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解は存在するか?

今回は、ゲーム理論に関する記事です。一連の「~かつパレート最適解となる解は存在するか?」系記事の最後の記事となります。

有限回繰り返し戦略型ゲームの場合の記事はこちらをどうぞ。

無限回繰り返し戦略型ゲームにおけるナッシュ均衡かつパレート最適解に関する分析の記事はこちらをどうぞ。


今までの記事と同様に、 G(N, S^{*}, u^{*})ミニマックス点の代わりに、 G(N, S^{*}, u^{*}) の最悪ナッシュ均衡を用いて、さらに  o_i^{*}, v_i の条件さえ満たせることができれば、部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解を作ることができます。

また、無限回繰り返し戦略型ゲームの場合は、 G(N, S^{*}, u^{*})ミニマックス点を使っても、部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解を作ることができます。以下のような戦略です。

  •  s は、無限回繰り返し戦略型ゲームのパレート最適解である。
  • 以下の(A)(B)のどちらかのルールに従い、戦略を決定する。ただし、 1 回目は(A)に従うものとする。
  • (A)
    •  p(s) j + 1 回目の戦略を選択する。 j は今まで(A)のルールに従い、戦略が選択された回数である。
    • このとき、 p(s) j + 1 回目の戦略以外の戦略を選択したプレイヤーが存在したとき、そのプレイヤーを  i とし、以降(B)のルールに従う。
  • (B)
    • (B)のルールに従うようになってから以降  T_{AorB, t, i} 回、 G(N, S^{*}, u^{*}) のプレイヤー i に対するミニマックス点を選択する。
    •  T_{AorB, t, i} 回、ミニマックス点を選択したあとは、以降(A)のルールに従う。
    •  T_{AorB, t, i} 回、ミニマックス点を選択する前に、ミニマックス点以外の戦略を選択したプレイヤーが存在したとき、そのプレイヤーを新たな  i とし、改めて  T_{AorB, t, i} を設定しなおし、引き続き(B)のルールに従う。(ミニマックス点を選択した回数は、 1 回から数えなおし)

すべての  i, t に対し、(A)においては  p(s) j + 1 回目の戦略以外の戦略を選択しないような、(B)においてはミニマックス点以外の戦略を選択しないような部分ゲーム完全均衡解が存在するように  T_{AorB, t, i} \in \mathbb{N} o_i^{*}, v_i に対し定義できる場合、この解は部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となります。