ゲーム理論:有限回繰り返し戦略型ゲームにおいて部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解は存在するか?

今回は、ゲーム理論に関する記事です。

前回の記事では、有限回繰り返し戦略型ゲームにおいてナッシュ均衡解かつパレート最適解となる解が存在するかどうかについて考察しました。

今回の記事では、有限回繰り返し戦略型ゲームにおいて部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解が存在するかどうかについて、考察いたします。

結論から申し上げますと、前回の記事同様、有限回繰り返しゲーム  G(N, S, u) において、元となった戦略型ゲーム  G(N, S^{*}, u^{*})ナッシュ均衡解かつパレート最適解となる解が存在しない場合、存在しません。

これは、部分ゲーム完全均衡点の集合がナッシュ均衡解の集合の部分集合となることから明らかです。部分集合となることについては、部分ゲーム完全均衡点について述べた以下の記事をご参照ください。


では、 G(N, S^{*}, u^{*})ナッシュ均衡解かつパレート最適解となる解が存在しない場合、部分ゲーム完全均衡点の場合は、どこまでパレート最適解に近い解が存在できるのでしょうか?

ナッシュ均衡解の場合は、  G(N, S^{*}, u^{*}) におけるミニマックス点を用いましたが、部分ゲーム完全均衡点の場合は  G(N, S^{*}, u^{*}) の最悪ナッシュ均衡解を使用します。最悪ナッシュ均衡解については、こちらの記事をご覧ください。


 G(N, S, u) における部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる戦略  s は、有限回繰り返し戦略型ゲームの記事でご紹介した戦略のミニマックス点を、最悪ナッシュ均衡解に置き換えたものになります。

プレイヤー  i に対する最悪ナッシュ均衡解におけるプレイヤー  i の利得は、プレイヤー  i に対するミニマックス点におけるプレイヤー  i の利得と、同等かそれ以上のため、部分ゲーム完全均衡点かつパレート最適解となる解の集合は、ナッシュ均衡解かつパレート最適解となる解の集合の部分集合になります。

また  s は部分ゲーム完全均衡点であることも要求されますが、このように定義され、 o_i^{*}, v_i が条件を満たす場合、戦略  s は必ず部分ゲーム完全均衡点となります。